Departamento de Estatística e Investigação Operacional

Centro de Estatística e Aplicações da Universidade de Lisboa

O título não há-de ser muito enigmático — procura ecoar, evidentemente, o ditado popular "em terra de cegos quem tem um olho é rei".

Diversos ensaístas se têm apercebido, desde meados do século XIX, da importância crescente da Estatística. H. G. Wells, mais conhecido pela sua ficção científica, mas que também reflectiu e escreveu muito seriamente sobre a evolução das sociedades, afirmou que, num futuro não muito distante, a capacidade de entender informação estatística seria tão essencial como saber ler e escrever. Mais acutilantemente ainda, porventura, o pensador político Carlyle afirmou que a Estatística constituía a defesa mais segura contra quem [os políticos] nos quisesse enganar com pseudo-verdades alicerçadas em factos deturpados ou usados a contra-senso ou fora de contexto. Muito recentemente, um exemplar editorial do Science lamentava que os políticos tomassem tantas vezes decisões com base em informação errada e/ou insuficiente; para logo comentar "tal e qual como nós, na nossa vida".

O programa liberal para a educação dos povos, que ganhou ímpeto no século XIX, apresentava como palavra de ordem que "todos devem saber ler, escrever e contar". Sempre nos pareceu curioso que fosse distinguida a capacidade de ler e de escrever (não nos parece que com um sentido pleno, com a percepção de que saber ler não corresponde necessariamente a inteligir o sentido do que se está lendo), e que não se desse qualquer relevo à capacidade de saber "ler números", descodificar informação quantitativa.

A capacidade de saber "ler" informação quantitativa é o cerne da Estatística. E tudo quanto é bom contém em si mesmo a sua própria perversão. É fácil mentir com Estatística — todos os dias assistimos a isso, de forma bem criativa, em anúncios da televisão, ou (em geral de forma menos criativa) quando os líderes políticos procuram vender-nos as suas ideias.

A Estatística cumpriu as promessas dos seus apologistas do passado: vem invadindo a nossa vida quotidiana e ganhou direito de cidade na metodologia da investigação científica, tornando-se um auxiliar precioso de todas as ciências. Infelizmente, a cultura estatística é em geral deprimentemente baixa, o que permite que a Estatística seja usada contra nós, por malícia ou simplemente por mau uso.

Procuramos ilustrar com o exemplo abaixo como uma utilização maliciosa de padrões que não são imediatamente evidentes pode viciar a investigação de um problema científico (ou mais directamente servir para comer dinheiro a incautos).

— Acreditam na percepção extra-sensorial? A senhora não? Então venha aqui por favor ajudar-me.

…

— Ora muito obrigado. Faça então o favor de escolher um destes envelopes. Este? Então abra-o por favor, deixe cair as quatro moedas que contém. Vou pedir-lhe agora que confirme que em cada face de cada uma das moedas há um número escrito, e que os oito números escritos são distintos.

…

— Atire por favor uma das moedas ao ar, várias vezes. Umas vezes saíu um dos números e outras vezes o outro, não foi? A moeda parece-lhe equilibrada, no sentido em que não parece ter mais propensão para sair um dos lados do que o outro? Fico muito satisfeito por confirmar este ponto!

…

— Então, se os números são todos distintos, concorda que há 2x2x2x2 = 24 possibilidades quando se atiram as quatro moedas?

…

— Ora faça o favor de atirar as moedas ao ar e de me ditar os números que ficam à vista.

…

— Disse 32, 69, 60, 39? Então a soma é 200, não é? Faça então o favor de retirar de dentro do envelope o papel que lá está dobrado, e ler o que está escrito.

…

— Vou então repetir o que estava lá escrito por mim há vários dias: "A soma é 200".

…

• Bem, quem é que continua a não acreditar na percepção extra-sensorial? Ainda há cépticos? Sempre há gente muito pirrónica! Então escolha lá outro envelope e deixe cair as moedas. Os oito números são todos diferentes, não são? E são diferentes dos do envelope anterior, não são? Vá, não hesite, atire-os ao ar. Muito bem! Os números que saíram são agora 37, 55, 53 e 42, e, deixe cá ver, a soma é 187, não é? Ora leia lá o papelinho: "A soma é 187". Ora esta!

…

— Vamos a mais uma tentativa, a ver se desta vez eu me engano. Atire lá as quatro moedas ao ar. Posso aleatorizar um pouco mais, lançar eu próprio esta moeda ao ar? Muito bem! Ora os números desta vez são 15, 56, 8, 55, e puxe lá de uma máquina de calcular e diga-me o produto — é 369 600. E o papelinho diz "O produto é 369 600"!

…

— Bem minha senhora, agora já acredita em percepção extra-sensorial? Menos ainda do que no princípio? Isto é que a senhora me saíu uma finória com o faro bem apurado, percebeu logo que havia tramóia na questão!

Pois é, os números são todos diferentes, mas há uma estrutura — que não é imediatamente aparente. Os números escritos nas quatro moedas do primeiro envelope são

Face: 32 37 39 46

Corôa: 55=32+23 60=37+23 62=39+23 69=46+23

e consequentemente, em vez de haver 16 = 2somas diferentes (o que seria de esperar com 4 pares de números distintos, caso não houvesse nenhum padrão nos números), há apenas 5 somas distintas:

Por outras palavras, a soma é a variável aleatória

Desta forma, a soma 200 é a mais provável, e nenhum casino desdenharia este jogo, sendo 200 a aposta da casa, mesmo que os ganhos jogo a jogo fossem diminutos. Nesta brincadeira, usámos evidentemente um truque: nas faces pusémos números inferiores a 50, nas corôas pusémos números superiores a 50, e consequentemente sabíamos que a "predição" bateria certo se saíssem dois valores inferiores a 50 e dois superiores a 50 (no caso do produto, nas faces havia números terminados em 5, e nas corôas esses números multiplicados por 1.4). No caso em que não saía logo o que nos interessava, sugeríamos que uma (ou duas) das moedas — a(s) que não nos convinha(m) — fosse(m) de novo lançada(s) ao ar, e levaríamos essa pseudo-aleatorização até sair o que de facto nos interessava.

Note que num casino real este tipo de batota é totalmente impensável: ninguém estaria interessado num jogo que não é possível ganhar. O que faz a fortuna dos casinos é a capacidade de "gerir" pequenos ganhos em grande quantidade — e gerir as esperanças insensatas e o gosto pelo risco dos jogadores. Um jogo inspirado no exemplo acima é excessivamente matemático para atrair o público usual de casinos, mas se, por um momento, imaginarmos que por cada unidade monetária arriscada pelo jogador o casino

• arrecada essa propina no caso de o jogador perder;

• paga 3.5 vezes o valor da aposta no caso de o jogador ganhar apostando no 177 ou no 223;

• paga 13 vezes o valor da aposta no caso de o jogador ganhar tendo apostado no 154 ou no 246,

então:

1. O ganho correspondente a uma unidade monetária é, para um jogador que aposte no 200

2. O ganho correspondente a uma unidade monetária é, para um jogador que aposte no 177 ou no 223

3. O ganho correspondente a uma unidade monetária é, para um jogador que aposte no 154 ou no 246

Assim, em termos médios o jogador perde sempre (sendo mais penalizado, em termos médios, quanto maior é o risco para o casino de um jogador ocasional ter uma jogada de sorte e abandonar logo o jogo, dando prejuízo à casa), mesmo que ocasionalmente ganhe um prémio apetitoso relativamente ao que apostou.

Por outro lado o casino, numa noite em que haja 1600 apostas no 200, 3200 apostas no 177 ou no 223, 8000 apostas no 154 ou no 246, espera ganhar com este jogo 2000 unidades monetárias — não é mesmo tentador ter um casino?

O exemplo apresentado ilustra vários pontos, que desafiamos o leitor a aprofundar:

• a investigação de situações dúbias (como a existência de percepção extra-sensorial) pode ser feita com o auxílio da Estatística: se for detectado um padrão favorável ou desfavorável a uma determinada hipótese, as nossas convicções podem ser abaladas (ou pelo contrário reforçadas). A função do estatístico é um pouco como o papel do juiz, que tem que avaliar a acumulação de evidência num ou noutro sentido — não perdendo de vista, obviamente, que a apresentação da evidência pode ser enganosa, ou o nosso ajuizar dela imperfeito.

De facto, a ocorrência do insólito não deve abalar-nos.

É por isso que não devemos impressionar-nos excessivamente com pressentimentos que vêm a ser confirmados pela sua realização — por cada pressentimento que corresponde à sua realização há milhares que abortam. A "lei do zero ou 1" têm várias consequências aparentemente inesperadas: por exemplo, diz-se que o inferno dos probabilistas é habitado não por demónios mas antes por infinitos macacos, a bater ao acaso nas teclas de infinitas máquinas de escrever, infinitamente; de acordo com a lei do 0 ou 1, algum deles acabará por escrever, quase certamente, a Guerra e Paz (ou qualquer outro calhamaço), sem qualquer erro, sequer de pontuação!

Há assim que ter a maior das prudências no uso da Estatística na investigação científica de questões em relação às quais há uma natural desconfiança, mesmo que não se faça batota como no exemplo apresentado.

Livros como O Código da Bíblia, que baseiam os raciocínios na estranheza de observação de coincidências pouco prováveis, estão a fazer um mau uso da Estatística, e a confundir os incautos quando apelam a que em testes de hipóteses usuais se arredam as que têm uma probabilidade inferior a 5%, enquanto as coincidências que eles observam têm uma probabilidade muito menor, e por isso devem deixar de ser encaradas como coincidências e ganhar o estatuto de "profecia válida". Esquecem deliberadamente que os testes de hipóteses investigam hipóteses plausíveis no nosso modelo do Mundo, e que assim a observação de acontecimentos de probabilidade baixa tem um sentido totalmente diferente da observação de acontecimentos pouco prováveis que não estão alicerçados num modelo. Era um pouco como se baseados numa experiência desgarrada — uma vez um dos autores saíu de um combóio quando este fechou as portas e arrancou, ficando com o braço esquerdo e a mala presos dentro do combóio, e viajou do lado de fora durante cerca de meia-hora —, mas decerto não única na sua essência, construíssemos uma teoria em que viajar fora dos veículos ganhasse de repente foros de respeitabilidade e fosse questão a ponderar maduramente cada vez que se entra ou sai de um combóio!

• a realidade é complexa, e pode conter padrões inesperados que distorçam a nossa apreensão (gostaríamos que as nossas investigações tivessem sido devidamente planeadas por forma a eliminar a variabilidade espúria, que nada tem que ver com o que queremos investigar, de variáveis confounding). Neste caso, os oito números em causa são todos distintos, e parecem não ter relação uns com os outros; mas de facto não são independentes, e isso altera radicalmente a avaliação do problema por um leigo.

Note que a "regularidade", a existência de um padrão, em geral está muito mais camuflada. Por exemplo, muitos matemáticos seriam levados a dizer que não há um padrão definido nos números primos (para além do óbvio: serem, à excepção de 2, ímpares). No entanto, se considerarmos números primos consecutivos — por exemplo 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, e depois os seus quadrados, 1369, 1681, 1849, 2209, 2809, 3481, 3721, 4489, 5041, 5329, 6241, e contarmos o número de números primos que existe em cada intervalo definido por pares consecutivos daqueles quadrados de primos obtemos respectivamente

Até aqui nada de particularmente notável.

Consideremos, agora, 8 subintervalos iguais em (1369, 1681), e contemos o número dos 44 primos do referido intervalo que cai em cada um dos 8 subintervalos:

Procedendo de forma análoga para os outros intervalos considerados, a tabela junta mostra que em todos os caso é de manter a hipótese nula de distribuição uniforme discreta nos subintervalos.

Números primos:

Números primos:

Como se vê, em nenhum dos casos é rejeitada a hipótese nula de uniformidade do número de primos nos subintervalos! Podemos mesmo observar que existe um sobre-ajustamento estranho, uma vez que o valor observado da estatística de teste é sempre um quantil de probabilidade muito baixo, muito inferior ao valor esperado 7.

Juntámos uma tabela dos 1334 primeiros números primos, para o leitor ter oportunidade de experimentar com outros primos sequenciais, e dividindo cada intervalo em 6, 7, 9 ou 10 subintervalos iguais, em vez de 8.

Se calhar, se procurarmos com suficiente afinco, acabamos sempre por encontrar padrões escondidos. O nosso bom-senso, em última análise, é que avalia se esses padrões têm alguma relevância ou são padrões cujo significado é irrelevante. A esta luz, será que vale a pena tirar tantas conclusões das combinações diversas das dimensões da grande pirâmide do Egipto, ou da proximidade das letras da Bíblia quando se escreve a palavra sem separação e sem vogais?

Deixem-nos citar de novo Carlyle: "Conclusive facts are inseparable from inconclusive except by a head that alredy understands and knows".

• A soma tem um papel regularizador (que neste caso é reforçado pelo padrão que existe nas parcelas).

O cálculo do ganho esperado do casino é relevante (como é relevante o débito de uma fonte, ou de uma torneira, e temos uma ideia suficientemente precisa para propósitos práticos de quanto tempo podemos deixar a água a correr para a banheira sem inundar a casa) devido a um resultado maravilhoso da Teoria da Probabilidade, a "lei dos grandes números", que estabelece que, sob condições muito gerais, a média de observações converge para o valor médio populacional.

O papel de média e desvio padrão é realmente notável; se não precisarmos de um modelo muito preciso, estas duas características amostrais (que são um "sinal" dos correspondentes parâmetros populacionais) permitem estabelecer limites para a probabilidade de observar a variável em intervalos centrados — é a desigualdade de Chebycheff, uma das pérolas da Probabilidade. Mais geralmente, admitindo a existência daqueles parâmetros e sob hipóteses muito gerais, o teorema limite central, cujo nome advém do papel central que ocupa na Teoria da Probabilidade, estabelece que sob condições de regularidade muito gerais, a soma de variáveis se vai aproximando de uma variável aleatória "normal" ou gausssina, cuja função densidade de probabilidade é unimodal, em forma de sino,

evidenciando que os valores mais prováveis da soma são os valores "centrais". O teorema limite central vai assim um pouco mais longe do que a lei dos grandes números (o que não é de todo de estranhar, uma vez que assenta na existência de valor médio e de variância, enquanto a lei dos grandes números apenas requer valor médio).

Hoje é porventura mais compensador encarar a média como soma ponderada de estatísticas ordinais, e considerar a média aritmética apenas como uma das possíveis características amostrais de localização, a que porventura usa mais plenamente a informação disponível, mas por isso mesmo a menos resistente a erros grosseiros nos dados (pois usar eficientemente má informação conduz fatalmente a maus resultados). Neste sentido a preponderância de estatísticas ordinais centrais ou de estatísticas ordinais extremais caracteriza o tipo de teorema limite que se obtém.

Nos anos 50, Gnedenko e Kolmogoroff afirmavam que o verdadeiro valor epistemológico da Teoria da Probabilidade advém dos teoremas limites. É uma afirmação incontroversa à data em que foi publicada — hoje há que moderá-la, pois o advento da estatística computacional, e a necessidade de tratamento de pequenas amostras veio alterar os rumos da Estatística. E por outro lado os grandes teoremas limites clássicos são omissos no que respeita a velocidades de convergência, tornando a sua utilização controversa quando apenas dispômos de amostras de dimensão moderada. Uma nota de esperança: também neste campo muito se tem avançado, e continua a ser área fértil de investigação.

Gaither, C. C. and Cavazos-Gaither, A. E. (1996) "Statistically Speaking", Institute of Physics Publishing, Bristol and Philadelphia.

Gnedenko, B. V. and Kolmogoroff, A. N. (1954) Limit Theorems for Sums of Independent Random Variables. Addison-Wesley.

Hollander, M. and Proschan, F. (1984) The Statistical Exorcist — Dispelling Statistical Anxiety. M. Dekker, Inc., New York and Basel.

Mosteller, F. and Rourke, R. K. E. (1973) Sturdy Statistics. Nonparametrics and Order Statistics. Addison-Wesley, Philadelphia. (Tradução portuguesa: Estatísticas Firmes, Salamandra, Lisboa, 1993)

Pestana, D. (1990) "Como Mentir com Estatística — Um Curso Breve (Mas Intensivo). in Armadilhas dos Métodos Quantitativos, p. 27-35, FNE, Porto.

______________

* Investigação financiada por FCT — PRAXIS XXI, FEDER. Conferência convidada no MATVISEU 98.

SUMÁRIO