Ensino Aprendizagem do Conceito de Limite

 

J.C. DAVID VIEIRA

 

Departamento Matemática

Universidade de Aveiro

 

 

As dificuldades relativas ao ensino e à aprendizagem do conceito de limite são há muito conhecidas.

As tentativas de simplificações, por vezes abusivas, de conceitos tão delicados arriscam-se a gerar polémica como o provam textos relativamente recentes publicados no Boletim da SPM.

 

" Simplificar tanto quanto possível, mas não mais do que o possível" Einstein.

 

Conhecedor deste facto, porquê abordar este tema?

Há alguns anos, após a leitura de [2], iniciei um trabalho, ainda inacabado, para detectar as primeiras dificuldades dos alunos na compreensão do conceito de limite. O estudo abrangeu algumas centenas de alunos de Análise Matemática II (2 semestre do 1 ano) das licenciaturas de Ciências e Tecnologia da Universidade de Aveiro. Foram igualmente inquiridos alunos dos 3 e 5 anos das licenciaturas em Matemática.

 

Nesta sessão apresentei alguns exemplos de respostas que me pareceram representativas das confusões apre(e)ndidas e tentei dar uma resposta, obviamente incompleta, à questão: porquê isto?

 

No final apresentei algumas sugestões a testar no terreno para a abordagem do tema, sem iludir as dificuldades do mesmo.

O questionário base do trabalho continha várias respostas de definição de limite de uma função real de variável real, num ponto, propostas estas que seguiam de perto o percurso histórico da evolução do conceito de limite.

As respostas foram cruzadas com a resposta ao seguinte item:

 

"Diga em poucas palavras o que entende por limite, ou seja, explique o que significa para si a expressão o limite de uma função f quando x ® t é um número L".

Registo algumas das respostas com que ilustrei a sessão e que permitem ver confusões conceptuais, dificuldades de expressão escrita e grande confusão na manipulação de expressões simbólicas.

 

E agora só uma pequena amostra das definições simbólicas apresentadas:

 
  • Procurando uma resposta a este descalabro, percorri a literatura usual do ensino secundário e do 1 ano universitário.

    Os inúmeros conceitos, - limite inferior, limite superior, ínfimo, supremo, mínimo, máximo, limite segundo Heine, limite segundo Cauchy, limites de sucessões, limites de funções, limites infinitos e limites de funções num ponto de acumulação ou num ponto aderente -, o pouco tempo para assimilação e o facto de praticamente só serem avaliadas capacidades de cálculo podem servir para uma primeira explicação do fenómeno.

    Quanto à literatura séria: Sebastião e Silva, Dias agudo, N. Bourbaki, L. Schwarz, E. Lages de Lima, G. Choquet, S. Guerreiro, R. Bartle e A. Machado, entre outros, penso não ser de grande ajuda para alunos e mesmo para muitos professores, devido à apresentação aparentemente díspar. Só em R. Bartle e A. Machado se fala directa e explicitamente em duas definições não equivalentes: uma que "ignora" o que se passa no ponto em que se pretende definir limite e outra que considera o que se passa em tal ponto; basicamente, situações em que se considera o limite num ponto de acumulação ou num ponto aderente.

    Para assentar algumas ideias propus uma abordagem adaptada de [1] e que julgo poder ser uma via que não foge às dificuldades, antes as explicita. É uma bordagem progressiva onde se propõem algumas "definições" que são analisadas e sucessivamente eliminadas pela apresentação de contra-exemplos simples, até se chegar às duas definições já referidas.

    Esta proposta pode ser executada num tempo aceitável e julgo que vale a pena experimentá-la no terreno.

    Enfrentar o problema pela via positiva parece-me mais eficaz do que a permanente fuga em frente que consiste em tratar os nossos estudantes como incapazes, retirando do programa o que contém efectivas delicadezas conceptuais.

    Referências

    [1] Smith, W., Limits and Continuity, ......(?)

    [2] Williams, S. , Models of Limit Held by College Calculus Students, J. for Research Math-Ed, 1991

    SUMÁRIO